前言
理解和记住一些常见的模型，解决排列组合问题基本就够用了。
一、排列组合
- 排列、排列数
\(A_n^m=n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots\times (n-m+1)=\cfrac{n!}{(n-m)!}\)；\(A_n^n=n!\)；\(0!=1\)
引例\(n\in N\)，且\(n<55\)，则乘积\((55-n)(56-n)\cdots (69-n)\)等于【】
分析：\(69-n\)最大，因式个数为\((69-n)-(55-n)+1=15\)，故选\(B\)。
- 组合、组合数
\(C_n^m=\cfrac{A_n^m}{A_m^m}=\cfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots\times (n-m+1)}{m!}=\cfrac{n!}{m!\cdot (n-m)!}\)
- 排列组合的识别：
若与顺序(次序、位置)有关，则为排列，若与顺序(次序、位置)无关，则为组合。
引例，比如5个人之间彼此留言，则是排列，共有\(A_5^2=20\)种，比如5个人之间彼此握手，则是组合，共有\(C_5^2=10\)种；
二、理解模型
Ⅰ小球放入盒子
①3个不同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至多有一个球，共有\(A_5^3\)种不同的放法。
分析：等同于3封信，投入5个不同的邮箱，每个信箱至多一个；或者3个人坐5个凳子。
②3个不同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子能放入的小球不限，共有\(5^3\)种不同的放法。分析：等同于映射个数问题。
③集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，则映射\(f：A \rightarrow B\)的个数为\(4^3\)；映射\(f：B \rightarrow A\)的个数为\(3^4\)；
④集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c\}\) ，则一一映射\(f：A \rightarrow B\)的个数为\(A_3^3=6\)个，一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数也为\(A_3^3=6\)个。
⑤6个相同的小球，放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有\(C_5^2\)种不同的放法。
分析：隔板法，如图所示，\(0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\underline{|}0\)，
所求的不同放法个数，相当于在5个空位上插入2个隔板的不同插入方法，共有\(C_5^2=10\)种；
或解：相当于从5个插好的隔板中任意取出三个隔板的不同取出方法，共有\(C_5^3=10\)种；
Ⅱ排队照相
已知有5个同学排队照相，求
①甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？
分析：\(A_4^4\times A_2^2=48\)，相邻问题捆绑策略
②甲、乙、丙三个同学互不相邻的排法有多少种？\(A_2^2\times A_3^3=12\)，
分析：不相邻问题插空策略
③乙不能站在甲前面，且丙不能站在乙前面的排法有多少种？
【法1】：只能按照“甲乙丙”的次序来排列，
定序问题，\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)，
定序问题除法策略(有部分相同元素的排列问题和定序问题是相同的)
【法2】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅1种，
然后插入剩余两人中的一人有4种，
最后再插入最后一人有5种，故\(N=4\times 5=20\)
【法3】：先按照甲乙丙的次序排甲乙丙，仅1种，然后插入剩余的两人，分类如下：
当两人不相邻，有\(A_4^2=12\)种，
当两人相邻，有\(C_4^1\times A_2^2=8\)种，
故共有\(A_4^2+C_4^1\times A_2^2=20\)种。
④甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？
【法1】：以乙的位置分类，
当乙居中时，先排乙有\(A_1^1\)种，再排其余有\(A_4^4\)种，
则有\(A_1^1\times A_4^4=24\)，
当乙不居中时，先排乙有\(A_2^1\)种，再排甲\(A_3^1\)种，
再排其余有\(A_3^3\)种，则有\(A_2^1\times A_3^1\times A_3^3=36\)，
故共有\(N=24+36=60\)。
【法2】：以甲的位置分类，类比上法思考。
【法3】：间接法，先5个人做全排列，有\(A_5^5\)种，
然后剔除不符合题意的情形，有甲在中间\(A_4^4\)种或乙在两端\(2A_4^4\)种，
不过这个剔除过程多剔除了甲在中间且已在两端的情形有\(A_1^1(甲)A_2^1(乙)A_3^3\)，
故共有 \(A_5^5-A_4^4-2A_4^4+2A_3^3=60\)
⑤排成两排，前排2人，后排3人，有多少种不同的排法？
分析：\(A_5^5=120\)。两排问题拉成一排策略
⑥5个人排成一排，有多少种不同的排法？
分析：\(A_5^5=120\)。
【对照】5个相同的乒乓球排成一排，有多少种不同的排法？
分析：\(C_5^5=1\)，或者理解为\(\cfrac{A_5^5}{A_5^5}=1\)，5个相同理解为定序问题。
⑦5本书中有三本一样的书，排成一排，有多少种不同的排法？
分析：\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)，3本相同理解为定序问题。
⑧单词“error”的所有拼写形式有多少种？
分析：同上述⑦问题，\(\cfrac{A_5^5}{A_3^3}=20\)。
⑨定序问题，比如【简单的定序】，
4个人按照甲在前，乙在后的确定次序排队，共有多少种不同的排法？
分析：4个人排队，共有\(A_4^4\)种，其中按照甲乙来看，共有\(A_2^2\)类，分为甲前乙后的一类，和甲后乙前的另一类，设每一类有\(x\)种，则\(x\cdot A_2^2=A_4^4\)，故\(x=\cfrac{A_4^4}{A_2^2}=12\)种；
提升：6个人按照甲乙丙的确定次序排队，共有多少种不同的排法？
分析：6个人排队，共有\(A_6^6\)种，其中按照甲乙丙来看，共有\(A_3^3\)类，其中甲乙丙的次序只占\(\cfrac{1}{A_3^3}\)，设每一类有\(x\)种，则\(x\cdot A_3^3=A_6^6\)，故\(x=\cfrac{A_6^6}{A_3^3}\)种；
再提升：\(n\)个玩具排成一排，其中有\(m\)个相同，则共有排法\(\cfrac{A_n^n}{A_m^m}\)种；
Ⅲ分组和分配
按照下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
⑴分成三份(堆)，1份1本，1份2本，1份3本 ；
分析：无序不均匀分组问题，\(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60\)；
或者相当于先从6本中任取1本\(C_6^1\)种放成一堆，再从剩余的5本中任取1本\(C_5^2\)种放成一堆，再从剩余的3本中任取3本\(C_3^3\)种放成一堆，到此分成了符合要求的三份，事件完成，故有\(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3=60\)；
⑵甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本
分析：有序不均匀分组问题，先分组再分配到人手中。
\(C_6^1\times C_5^2\times C_3^3\times A_3^3=360\)
⑶平均分成三份，每份2本
分析：无序均匀分组问题，\(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\)
【解释】先分为三份，则应该是\(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2\)种方法；
但是这里出现了重复。不妨记6本书为\(A、B、C、D、E、F\)，
若第一步取了\(AB\)，若第二步取了\(CD\)，若第三步取了\(EF\)，标记该种分法为\((AB，CD，EF)\)，
则\(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2\)种方法中还有\((AB，EF，CD)\)，\((CD，AB，EF)\)，\((CD，EF，AB)\)，
\((EF，AB，CD)\)，\((EF，CD，AB)\)，共有\(A_3^3\)种情况，
而这\(A_3^3\)种情况仅仅是\(AB、CD、EF\)的顺序不同，因此只能作为一种分法，
故分配分法有\(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\)种。可以类比定序问题理解。
⑷平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本
分析：有序均匀分组再分配问题，\(\cfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}\times A_3^3=90\)
或解：先让甲来领取有\(C_6^2\)种，再让乙来领取有\(C_4^2\)种，最后让丙来领取有\(C_2^2\)种，
故有\(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90\)
⑸分成三份，1份4本，另外两份每份1本
分析：无序部分均匀分组，\(\cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}=15\)，
其中每份1本的这两堆是大小一样，没有顺序的，故需要除以\(A_2^2\)。
⑹甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本
分析：有序部分均匀分组再分配问题，\(\cfrac{C_6^4\times C_2^1\times C_1^1}{A_2^2}\times A_3^3=90\)
⑺甲得1本，乙得1本，丙得4本
分析：直接分配问题，\(C_6^1\times C_5^1\times C_4^4=30\)
或者\(C_6^4\times C_2^1\times C_1^1=30\)
备注：其中第⑺问，相当于甲乙丙这三个人依次上来领取一样，
这样的话，“领取”模型就可以同化第⑴、⑷问了。
Ⅳ先分组再分配
①3个不同的小球分给3个人，每个人至少有一个球的不同分法？
分析：共有\(\cfrac{C_3^1C_2^1C_1^1}{A_3^3}\cdot A_3^3=C_3^1C_2^1C_1^1\)，或者\(A_3^3\)种不同的放法。
评：整体平均分组。
②4个不同的小球分给3个人，每个人至少有一个球的不同分法？
分析：共有\(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3\)种不同的放法。
评：部分平均分组。
③5个不同的小球分给3个人，每个人至少有一个球的不同分法？
分析：共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3\)种不同的放法。
评：分类讨论+部分平均分组。
三、廓清关系
- 计数原理和排列组合的关系
计数原理统管排列组合，排列组合简化计数原理的步骤。
如5人排成一排，应该用乘法计数原理，\(\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\;\;\Delta\)
位置1有5种(或\(C_5^1\))，位置2有4种(或\(C_4^1\))，位置3有3种(或\(C_3^1\))，
位置4有2种(或\(C_2^1\))，位置5有1种(或\(C_1^1\))；
故共有不同的排列方法\(N=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\)种，
或\(N=C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1=120\)种，
但如果有了排列的模型，就可以简化为\(N=A_5^5=120\)种。
四、典例剖析
在排列组合题目中，有时候找出错误比换个思路解题更难，所以一旦发现错误，以后就一定要注意避免按照那种模式思维，另外熟练掌握上述的模型，在具体题目的求解中，我们只要能将题目顺利转化为模型就可以求解了。
例15个男生4个女生组成一个4人小组，要求小组中至少要有一男生一女生，有多少种分法？
法1(直接法)：分类计数，有一男三女，两男两女，三男一女三种情况，故有：\(C_5^1C_4^3+C_5^2C_4^2+C_5^3C_4^1=120\)
法2(学生容易这样思考的保底法)：\(C_5^1C_4^1C_7^2=420\) ，明显法2是有重复的，
比如5个男生为 \(A、B、C、D、E\) ，4个女生为甲、乙、丙、丁；
那么取出的（\(B\)，乙，\(A\)甲）和（\(A\)，甲，\(B\)乙）、（\(A\)，乙，\(B\)甲）等等是一回事，
也就是说这种思路的计数是有重复的，所以要避免这样思考。
反思总结：凡是题目中出现至少至多这样的关键词，则往往需要分类计数或用间接法思考，如果用保底法就会出错。
法3(间接法)：\(C_9^4-C_5^4-C_4^4=120\)。
例2【2017全国卷2理科第6题高考真题】
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有【】种。
分析：部分平均分组再分配问题，
可以先将4项工作分成3份\((1个+2个+1个)\)的情形，共有\(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\)种，
然后将分成的3组工作分配给3个人，有\(A_3^3\)种，故有\(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=36\)种。
引申-1：安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由一个人完成，则不同的安排方式共有多少种？
安排5名毕业生到3个单位实习，则每个单位至少去一名的不同分派方法有多少种？
分析：将工作分配给人：\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)；
引申-2：将5名志愿者分配到3个单位，每个单位至少分配1人，则不同的安排方式共有多少种？
分析：将人分到单位：\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)；
引申-3：将5名志愿者分配到3个单位，每个单位至少分配1人，其中甲同学不能分配到\(A\)宿舍，则不同的安排方式共有多少种？
分析：不考虑甲同学的情形，共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3+\cfrac{C_5^2C_3^2C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=150\)种；
其中将甲分配到\(A\)宿舍占总数的\(\cfrac{1}{3}\)，故甲同学不能分配到\(A\)宿舍的不同方式有\(150\times (1-\cfrac{1}{3})=100\)。
引申-4在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡村医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两人不能安排在同一个医院，丙、丁两人也不能安排在同一个医院，则不同的分配方法种数为__________。
分析：将五人安排到三所医院，且每所医院至少安排一名医生，则不同的分组方式有\(1+1+3\)和\(1+2+2\)两种，
当分组方式为\(1+2+2\)时，用间接法求解，所有的分配方法共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3\)种，其中不符合题意的有甲乙两人同医院的，\(C_2^2(选甲乙)C_3^2(另三人选一个)C_1^1(剩余一人)A_3^3\)，丙丁两人同医院的，\(C_2^2(选丙丁)C_3^2(另三人选一个)C_1^1(剩余一人)A_3^3\)，在这其中多算了甲乙同医院且丙丁同医院的情形\(A_3^3\)，故共有\(\cfrac{C_5^3C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3-(2C_3^2A_3^3-A_3^3)=90-30=60\)；
当分组方式为\(1+1+3\)时，用直接法求解，从甲乙两人中选一个\(C_2^1\)，从丙丁两人中选一个\(C_2^1\)，将剩余的三人自然合成一组共三组，再分配有\(A_3^3\)，故共有\(C_2^1C_2^1A_3^3=24\)；
综上所述，共有\(N=60+24=84\)种。
例3【北师大选修2-3\(P_{17}B\).02】某校乒乓球队有男运动员10名和女运动员9名，若要选出男女运动员各3名参加混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种比赛方法？
分析：\(C_{10}^3\cdot C_9^3\cdot A_3^3\)，其中男女各3人的混合双打有\(A_3^3\)种。
例4如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有【】种。
法1：第一组开关中至少有一个接通有\(2^2-1=3\)种，第二组开关中至少有一个接通有\(2^3-1=7\)种，由乘法原理可知\(3\times7=21\)，故选\(D\)。
法2：\((C_2^1+C_2^2)(C_3^1+C_3^2+C_3^3)=21\)，故选\(D\)。
例5从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有一名女生，共有【】种不同的选法。
分析：先选出4个人，有“一女三男”和“二女二男”两种情况，\(C_2^1\cdot C_6^3+C_2^2\cdot C_6^2\)
然后在这4个人中，再安排队长和副队长\(A_4^2\)。
共有\((C_2^1\cdot C_6^3+C_2^2\cdot C_6^2)\cdot A_4^2=660\)种。
例6【选修2-3，P22 A组第4题】从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(7\)，\(9\)中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个对数值？
法1：直接法，分类计数，
第一类，底数和真数中不含\(1\)，共有\(A_5^2=20\)种，再减去4种重复的情况(\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\))，有\(16\)种；
第二类，真数中含有\(1\)，即\(log_21=log_31=log_41=log_71=log_91=0\)，只有1种；
综上所述，共有\(16+1=17\)个不同的对数值。
法2：间接法，从\(6\)个数字中任选一个做底数(不能为1)有\(C_5^1\)种，然后在剩余的5个数字中任选一个做真数有\(C_5^1\)种，
故不计特殊情况共有\(C_5^1\times C_5^1=25\)种，其中需要剔除的有类似\(log_a1=0\)的有\(4\)种，
以及这样的\(4\)种(\(log_23=log_49\)；\(log_32=log_94\)；\(log_24=log_39\)；\(log_42=log_93\))，
综上所述，共有\(25-4-4=17\)个不同的对数值。
例8\(a，b，c，d，e\)共5个人，从中选1名组长1名副组长，但\(a\)不能当副组长，不同的选法种数为【】
分析：由于选出的人中，可能有\(a\)，也可能没有\(a\)，故需要分类讨论：
当选出的人中没有\(a\)时，有\(C_4^2\cdot A_2^2=12\)；
当选出的人中有\(a\)时，则\(A_1^1\cdot A_4^1=4\)；
故不同的选法共有\(12+4=16\)。故选\(B\)。
例9从6名志愿者中选出4人，分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事翻译工作，则选派方案共有【】种。
分析：由于选出的人中，可能有甲、乙两个人，也可能都没有，也可能只有一个人，故需要分类讨论：
当选出的人中不包含甲、乙两人时，有\(A_4^4=24\)种；
当选出的人中只包含甲、乙两人中的一人时，先选后排，有\(C_2^1\cdot C_4^3\cdot A_3^1\cdot A_3^3=144\)种；
当选出的人中包含甲、乙两人时，先选后排，有\(C_2^2\cdot C_4^2\cdot A_3^2\cdot A_2^2=72\)种；
故共有\(N=240\)种。
例10某班举行晚会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为【】
分析：按照这两个节目是否相邻分类讨论如下：
当插入的两个节目相邻，则有\(C_6^1\cdot A_2^2=12\)种；
但插入的两个节目不相邻，则有\(A_6^2=30\)种；
故共有\(N=12+30=42\)种。故选\(A\)。
例11某城市的街道如图所示，某人要从\(A\)地到\(B\)地，则路程最短的走法共有【】种
法1：列举法，依次画出，共有10种，故选\(B\)。
法2：组合法，类似于二项展开式的项的构成一样，从\(A\)地到\(B\)地的走法，必须且只需向上或向右，分析可知，需要向上两次，向右三次，相当于从\((a+b)^5\)种选3个\(a\)，选2个\(b\)，故选法为\(C_5^3\cdot C_2^2=10\)种，或者\(C_5^2\cdot C_3^3=10\)种，故选\(B\)。
例12从6个正方体拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为【】
分析：间接法，从12个顶点中任取3个共有\(C_{12}^3\)个，然后排除不符合题意的三种情形：
其一，三个顶点在同一行的有\(3\cdot C_4^3=12\)种；
其二，三个顶点在同一列的有\(4\cdot C_3^3=4\)种；
其三，三个顶点位于田字格的对角线上的有4种，
故共有\(N=C_{12}^3-12-4-4=200\)种，故选\(C\)。
例13设\(\{a_n\}\)为等差数列，从\(\{a_1，a_2，a_3，a_4，a_5，a_6，a_7，a_8，a_9，a_{10}\}\)中任取4个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样的数列最多有_________个。
分析：按照取出的三个数相隔的项数分类讨论如下：
其一，取出的四个数相连的有7个，其逆序也成等差数列，故共有\(7\times2=14\)个；比如\(\{a_1，a_2，a_3，a_4\}\)，\(\{a_2，a_3，a_4，a_5\}\)，\(\cdots\)，\(\{a_7，a_8，a_9，a_{10}\}\)；
其二，取出的四个数隔了一项的，有4个，其逆序也成等差数列，故共有\(4\times2=8\)个；\(\{a_1，a_3，a_5，a_7\}\)，\(\{a_2，a_4，a_6，a_8\}\)，\(\{a_3，a_5，a_7，a_9\}\)，\(\{a_4，a_6，a_8，a_{10}\}\)，
其三，取出的四个数隔了两项的，有1个，其逆序也成等差数列，故共有\(1\times2=2\)个；
故共有\(N=14+8+2=24\)个。
例14【2018江西南昌二模】在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有\(2^3＝8\)种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻、三个阴爻的概率是【】
分析：六爻共有\(2^6=64\)种，其中三阳爻三阴爻有\(C_6^3=20\)种，说明：相当于从\((阳+阴)^6\)展开式中取三阳爻三阴爻，故有\(C_6^3\cdot C_3^3=20\)种，则所求概率为\(P=\cfrac{20}{64}=\cfrac{5}{16}\)，故选\(C\)。
例15某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为【】
分析：甲相当于特殊元素，包子相当于特殊位置，故针对甲分类讨论如下：
①当甲选取包子时，有1种选法，接下来剩余4个人三种食物，有\(\cfrac{C_4^2C_2^1C_1^1}{A_2^2}\cdot A_3^3=C_4^2A_3^3=36\)种；
②当甲不选包子时，先从另外4人中选出1人吃包子有\(C_4^1=4\)种，然后让甲选食物，在花卷和面条中二选一有2种，接下来剩余的人有3人，但食物有2或3种，故需要再次分类讨论
当剩余3人中有1人选取和甲相同，则有\(C_3^1=3\)种，剩余有\(A_2^2\)种，故有\(C_3^1A_2^2=6\)种；
当剩余3人中没有人选取和甲相同，则三人选两种食物，每种食物必须都有人选，有\(C_3^2A_2^2=6\)种；
故当当甲不选包子时，共有\(4\times 2\times(6+6)=96\)种；
综上共有\(N=36+96=132\)种，故选\(B\)。
例16
五、备忘例题
例1【映射个数和函数个数模型】
给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射\(f:A \rightarrow B\)的个数和映射\(f:B \rightarrow A\)的个数。
分析：依据映射的概念，映射\(f:A \rightarrow B\)需要给集合\(A\)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。
此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。
我们分步完成：先给元素\(1\)分配对象，每次取一个有\(a、b、c、d\)四种选择；
再给元素\(2\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择；
最后给元素\(3\)分配对象，每次取一个也有\(a、b、c、d\)四种选择，
允许出现元素\(1、2、3\)都对应到元素\(a\)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；
利用乘法原理，映射\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，即\((cardB)^{cardA}\)个。
同理，映射\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，即\((cardA)^{cardB}\)个。
【引申】：若集合\(B\)为数集，则能构成的函数\(f:A \rightarrow B\)共有\(4\times 4\times4=4^3\)个，
能构成的函数\(f:B \rightarrow A\)共有\(3^4\)个，若集合\(B\)不为数集，则所求的函数个数都是\(0\)个。
原因是：函数是非空数集到非空数集的映射。
例2【映射个数和函数个数模型】
给定集合\(A=\{1，2，3\}\)，集合\(B=\{a，b，c\}\) ，求一一映射\(f：A \rightarrow B\)的个数和一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数。
分析：先分析一一映射\(f:A \rightarrow B\)的个数，由于是一一映射，类似有3人坐3个凳子，故有\(A_3^3=6\)个。
同理，一一映射\(f：B \rightarrow A\)的个数也是\(6\)种。
例3 10个相同的小球，分给3个人，允许有人不取，必须分完，共有多少种不同的取法？
法1：以甲取到的小球的个数分类计数如下，
第一类：甲取0个，乙可以取 0~10个 ，丙对应可以取10~0个，有11种不同的取法；
第二类：甲取1个，乙可以取 0~9个 ，丙对应可以取9~0个，有10种不同的取法；
第三类：甲取2个，乙可以取 0~8个 ，丙对应可以取8~0个，有9种不同的取法；
以此类推，
第十一类：甲取10个，乙可以取 0个 ，丙对应可以取0个，有1种不同的取法；
故共有\(N=1+2+3+\cdots+11=\cfrac{(1+11)\times 11}{2}=66\)
法2：隔板法，为保证每个人都取到球，给每个人都补一个球（虚的），
这样就有13个球，形成了12个空位，
用隔板法有\(C_{12}^2=66\)种。
法3：以瓜分10个小球的人的个数分类计数如下：
第一类：仅仅一个人瓜分了10个球，给甲、乙、丙三人，有3种；
第二类：有两个人瓜分了10个球，\(C_9^1C_3^2=27\)，
\(C_9^1\)是隔板法的意思(10个球之间形成9个空位，在任意一个空位上插入一个隔板就可以了)，
\(C_3^2\)是从三人中任取两个人。
第三类：有三个人瓜分了10个球，隔板法，\(C_9^2=36\)，隔板法
故共有\(N=3+27+36=66\)种。
例420个相同的球分给3个人，要求每人至少分3个，共有多少种分配方法？
法1：第一步，先给每人分给3个球，只有1种方法，此时还有11个球。
第二步，到此问题转化为“把11个相同的小球，分给3个人，允许有人不取，必须分完”，
可以仿上完成，共有\(C_{13}^2=78\)种。
体会数学中的转化划归的思想的重要性。
法2：仿上法1，分类计数，共有\(C_{13}^2=78\)种。
（2017秋•市南区期末）[问题提出]
一个边长为ncm （n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？ [问题探究] 我们先从特殊的情况入手 （1）当n＝3时，如图（1） 没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1＝1个小正方体； 一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个； 两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n＝4时，如图（2）
没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2＝8个小正方体： 一面涂色的：在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个； 两面涂色的：在棱上，每个楼上有2个，共有24个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个． … [问题解决] 一个边长为ncm （n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有 （n﹣2）3 个小正方体；一面涂色的：在面上，共有 6（n﹣2）2 个； 两面涂色的：在棱上，共有 12（n﹣2） 个； 三面涂色的：在顶点处，共 8 个． [问题应用] 一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积． [问题拓展] 把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？【考点】38：规律型：图形的变化类；I1：认识立体图形．菁优网版权所有
【专题】2A：规律型． 【分析】[问题解决]依据正方体内部的小正方体的体积之和，可得没有涂色的正方体数量；依据正方体每个面上的内部的小正方体的面积，即可得到一面涂色的正方体的数量；依据正方体的棱上处于中间部分的小正方体的数量，可得两面涂色的小正方体数量；依据正方体的顶点数量，即可得到三面涂色的小正方体的数量； [问题应用]设正方体棱长为ncm，依据有两面涂色的小正方体有96个，可得方程12（n﹣2）＝96，再根据棱长即可得到体积； [问题拓展]依据一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，类比上述问题的解决方法，即可得到没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块． 【解答】解：[问题解决] 一个边长为ncm （n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：在面上，共有6（n﹣2）2个； 两面涂色的：在棱上，共有12（n﹣2）个； 三面涂色的：在顶点处，共8个． 故答案为：（n﹣2）3，6（n﹣2）2，12（n﹣2），8； [问题应用] 设正方体棱长为ncm， ∵有两面涂色的小正方体有96个， ∴12（n﹣2）＝96， ∴n＝10， ∴这个大正方体的体积为1000cm3． [问题拓展] 把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体， 没有面涂色有（16﹣4）（10﹣4）（8﹣4）÷8＝36块， 一面涂色有2[（16﹣4）（8﹣4）÷4+（16﹣4）（10﹣4）÷4+（10﹣4）（8﹣4）÷4]＝72块， 两面涂色有4[（16﹣4）÷2+（10﹣4）÷2+（8﹣4）÷2]＝44块， 三面涂色有8块． 【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．